Soluções para problemas de dispersão e escoamento com condições de contornos curvilíneos por transformações difeomorfas conformes

Abstract

Neste trabalho, propomos resolver problemas de dispersão e de escoamento definidos em domínios curvilíneos utilizando transformações difeomorfas conformes de coordenadas. Grande parte dos métodos de resolução de equações diferenciais parciais possuem como pré-requisito que o problema original seja definido sobre um domínio de planos paralelos. Métodos de resolução analíticos, semi-analíticos e numéricos são desenvolvidos a partir de domínios simples. Quando aplicados em domínios complexos, naturalmente, surgem dificuldades que são manifestadas essencialmente nos contornos do domínio. Independente do método de resolução, propomos definir uma transformação que altere o sistema de coordenadas original para um sistema de coordenadas curvilíneas equivalente. A transformação deve alterar o sistema de coordenadas original de forma que o domínio curvilíneo seja transformado em um domínio retangular equivalente no novo sistema de coordenadas (sistema de coordenadas curvilíneas). Para este fim, a transformação é construída utilizando informações adquiras pelos contornos curvilíneos A transformação é aplicada sobre as coordenadas, porém ela é invariante e altera também as equações diferenciais parciais que modelam o problema. Inevitavelmente, as equações diferenciais parciais transformadas se tornam mais extensas devido à inserção de novos termos gerados pela relação que existe entre ambos sistemas de coordenadas, chamada de conexão afim. Apesar deste fato, a resolução não se torna mais complexa, apenas mais trabalhosa. A solução obtida deve ser recuperada pela inversão da transformação. Para contextualizar a metodologia, neste trabalho utilizamos a equação de advecção-difusão e as equações de Navier-Stokes acopladas a equação de Poisson para a pressão. Em ambos os casos, as equações são resolvidas numericamente pelo método de diferenças finitas implícito nos casos bidimensional e tridimensional.

In this work, we propose to solve problems of dispersion and flow defined in curvilinear domains using diffeomorph conformal transformations of coordinates. Most of the methods of solving partial differential equations have the prerequisite that the original problem be defined on a domain of parallel planes. Analytical, semi-analytical and numerical resolution methods are developed from simple domains. When applied in complex domains difficulties arise which are manifested essentially in the contours of the domain. Regardless of the resolution method, we propose to define a transformation that changes the original coordinate system to an equivalent curvilinear coordinate system. The transformation must change the original coordinate system so that the curvilinear domain is transformed into an equivalent rectangular domain in the new coordinate system (curvilinear coordinate system). To this end, the transformation is constructed using information acquired by the curvilinear contours. The transformation is applied on the coordinates, but it is invariant and also changes the partial differential equations that model the problem. Inevitably, the partial differential equations transformed become more extensive due to the insertion of new terms generated by the affine connection that relates both coordinate systems. Despite this fact, the resolution does not become more complex, just more laborious. The solution obtained must be recovered by reversing the transformation. To contextualize the methodology, in this work we use the advection-diffusion equation and the Navier-Stokes equations coupled to the Poisson equation for the pressure. In both cases, the equations are solved numerically by the finite difference method implicit in two-dimensional and three-dimensional cases.