Dynamics of the Ising model on heterogeneous random graphs with arbitrary threshold noise

Abstract

Fenômenos coletivos em redes complexas vem se tornando cada vez mais importantes na ciência moderna. Enquanto estudos analíticos nesta área se limitam essencialmente à redes homogêneas, onde o número de conexões por nó não varia, redes complexas reais são heterogêneas e, portanto, seu estudo é feito principalmente através de técnicas de simulação e análise de dados. Neste trabalho, resolvemos analiticamente a dinâmica paralela do modelo de Ising em um ensemble de redes complexas com uma distribuição arbitrária no número de conexões por sítio, valida no limite de alta conectividade. Dependendo da distribuição de ruído de limiar, que mimetiza o efeito do banho térmico, o sistema pode evoluir para estados estacionários de não equilíbrio, uma vez que a forma explícita da distribuição de ruído de limiar determina a forma da distribuição de estados microscópicos. Nosso resultado principal é um par de equações que descreve a dinâmica da magnetização global do sistema em termos das distribuições de grau e de ruído de limiar. No limite de tempos longos, essas equações permitem determinar a temperatura crítica da transição contínua entre as fases ferromagnética e paramagnética. Mostramos que a temperatura crítica depende da variância da distribuição de graus e do comportamento da distribuição do ruído de limiar próxima a zero. O foco deste trabalho está no cálculo dos expoentes críticos, tanto estacionários quanto dinâmicos, para a magnetização global e para a variância da distribuição das magnetizações locais, no caso em que os graus seguem uma distribuição binomial negativa. Esta escolha da distribuição de graus é conveniente pois permite parametrizar a heterogeneidade da rede em termos de um único parâmetro. Para uma distribuição de ruído de limiar dada por uma tangente hiperbólica, que promove balanço detalhado, os expoentes críticos estacionários e dinâmicos da magnetização assumem os valores usuais da teoria de campo médio homogênea. Já para uma distribuição de ruído algébrica, o balanço detalhado é quebrado, e os expoentes críticos são determinados pela cauda da distribuição de ruído de limiar. Por fim, mostramos que, a medida que o sistema se aproxima da temperatura crítica, o tempo de relaxação da magnetização em cada fase diverge de acordo com valores típicos de teorias de campo médio homogêneas independentemente da distribuição de ruído de fundo. Com esses resultados, evidenciamos a importância das flutuações de grau e de ruído térmico na dinâmica do modelo de Ising, dando um passo a mais na direção da descrição teórica de modelos em redes complexas reais. Em geral, nós mostramos que os expoentes críticos não dependem da heterogeneidade da rede, mas dependem apenas da distribuição de ruído de limiar.

Collective phenomena in complex networks are very important in modern science. Meanwhile analytical studies in this area are limited to homogêneous networks, where the number of connections per node is constant, real complex networks are heterogeneous and, therefore, their investigation is made mainly through numerical simulations and data science techniques. In this work, we analyticaly solve the parallel dynamics of the Ising model on an ensemble of complex networks with an aribitrary distribution in the number of conections per node, valid in the high connectivity limit. Depending on the threshold noise distribution, that mimics the effect of the heat bath, the system can evolve to non equilibrium stationary states, since the explicit form of the threshold noise distribution determines the distribution of microscopic states. Our main result is a pair of equations that describe the dynamics of the global magnetization of the system, in terms of the degree and threshold noise distributions. In the long time limit, these equations allow to determine the critical temperature for the continuous transtition between ferromagnetic and paramagnetic phases. We show that the critical temperature is determined by the variance of the degree distribution and by the behavior of the threhsold noise distribution near zero. The focus of this work lies in the calculation of the critical exponents, both stationary and dynamical, for the global magnetization and for the variance of the distribution of local magnetizations, in the case which the degrees follow a negativa binomial distribution. This choice is convenient because it allows to parametrize the heterogeneity of the network in terms of a single paramenter. For a hyperbolic tangent threshold noise noise distribution, that promotes detailed balance, both stationary and dynamical critical exponents agree with previous results from the usual homogeneous mean field theories. For an algebraic threshold noise distribu For an algebraic threshold noise distribution, however, detailed balance is broken and the critical exponents are determined by the tails of the threshold noise distribution. Finally, we shot that, as the systems approaches the critical temperature, the relaxation time for the magnetization inside each phase diverges according to typical values of the homegeneous mean-field theory regardless of the threshold noise distribution. With these results, we highlight the importance of the degree and termal noise fluctuations on the dynamics of the Ising model, presenting one step further on the direction of the understanding of the theoretical description of real complex network phenomena. Generally, we show that the critical exponents do not depend on the heterogeneity of the network, depending only on the threshold noise distribution.