Soluções analíticas para o modelo de Barabási-Albert de crescimento de redes

Abstract

Redes Complexas podem ser utilizadas para estudar uma variedade de assuntos, desde problemas tecnológicos a de saúde pública. Um dos modelos de redes complexas mais famoso é o modelo de Barabási-Albert, proposto inicialmente para reproduzir propriedades da rede mundial de computadores. Este modelo constrói redes através da sucessiva adição de nós, seguindo o princípio da adesão preferencial. Este princípio afirma que a probabilidade de um nó receber um vizinho é proporcional ao número de vizinhos que esse nó já possui. O principal resultado deste modelo é uma distribuição de grau que segue uma lei de potência. Uma vez que diversas redes reais apresentam distribuições de grau que se aproximam de uma lei de potência o princípio de adesão preferencial do modelo de Barabási-Albert passou a ser considerado como um dos principais mecanismos por trás da formação das redes reais. A comparação dessas redes com o modelo de Barabási-Albert é controversa, uma vez que suas distribuições de grau não são perfeitamente aproximadas por uma lei de potência. Entretanto, redes geradas atráves do próprio modelo apresentam desvios devido a efeitos de tamanho finito. Nesse contexto, soluções analíticas capazes de descrever o modelo de Barabási-Albert para redes pequenos são bem vindas, pois permitiriam compreender a extensão dos efeitos de tamanho finito e, portanto, poderiam ser comparadas com redes reais pequenas. Neste trabalho apresentamos um método que permite obter uma descrição analítica do modelo de Barabási-Albert, valida também para redes pequenas, e apresentamos essas soluções.

Complex Networks can be used to study a variety of subjects ranging from tecnologic to public health problems. Barabási-Albert model for complex networks was initially proposed to describe the world wide web. This model builds networks successively adding nodes following a preferential attachment mechanism, where the probability of a node to receive a new neighbour is proportional to the number of neighbours the node already has. Its main result is a degree distribution following a power-law. Since many real networks have degree distributions similar to power-laws, the Barabási-Albert model was considered a main mechanism underlying real netowrks formation. The comparison between these networks and the Barabási-Albert model is controversial, since their degree distributions are not perfect power-laws. However, networks grown following the model algorithm show deviations from a power-law due to finite-size effects. In this context, analytical solutions describing Barabási-Albert model for small networks are welcome, as a tool to verify the extent of the finite-size effects in small real networks, and therefore could be compared to small real networks. In this work we present a method to obtain an analytical description for Barabási-Albert networks, valid for small systems, and present these solutions.