Estudo de transições de fases quânticas em modelos de spin unidimensionais

Abstract

In this thesis we address the subject of quantum phase transitions within the context of spin liquids using two di erent models and two theoretical approaches. The eld of quantum phase transitions is quite vast and for that reason we selected two speci c examples, which are exactly solvable. The rst one is described by elementary excitations called majorana zero modes which are related to topological phases, and the second one is described by free spinons that obey fractional statistics. In both cases, these are elementary excitations from interacting many-body systems, which are essentially very di erent from fermions or bosons. Therefore, the usual second quantization rules are not available for these systems, opening the gate for developing new theories and techniques. In this thesis we have the opportunity, broadly speaking, to gather basic aspects of topological properties of low dimensional systems in one hand, and to bring into operation some details of the structure of the Yangian algebra to deal with the physics of free spinons, on the other hand. We rst start by studying the e ect of spatial inhomogeneities in the Kitaev chain. This one-dimensional model describes a p-wave superconductor which is characterized by topological/non-topological phase transitions.Using an enlarged unit-cell method, we studied a suitable topological invariant to describe the e ects of spatial modulations in the parameters of the model.We found the emergence of compact non-topological regions, we called them bubbles, that are described by topological protected states in the homogeneous case To characterize these phases, we developed a polynomial description of the topological invariant, which led us to account for the emergence of bubbles in the topological region, as well as to identify an internal structure of the topological invariant, which has a notorious similar behavior with the spin correlation function of the XY spin-1=2 model. Both models exhibit the same oscillation region in their phase diagrams. This is an e ect of duality, as both models are linked through a Jordan-Wigner transformation. As an application of our method, we used it to characterize an e ective model corresponding to a onedimensional tight-binding model of spinless fermions with a nearest-neighbor charge interaction, which is periodically driven. Using the Floquet formalism, we found an e ective Hamiltonian which is mapped into an inhomogeneous Kitaev chain described by a dimerized nearest-neighbor pairing and a next-nearest-neighbor pairing term. Applying our formalism, we accomplish a description of the e ects of the time-dependence of this e ective model. In the second part of this thesis, we studied the one-dimensional Haldane-Shastry model plus a chiral interaction given by the z-component of the rapidity operator. The Haldane-Shastry model is a periodically bounded spin-1=2 homogeneous chain with a long-range exchange interaction that falls o with the inverse of the distance squared among the spins This model is integrable, exactly solvable through the Yangian algebra and its symmetries describe elementary excitations given by free spinons which satisfy a fractional statistics. Since the chiral interaction is taken as the rapidity operator from the Yangian, the symmetry of the new model does not change, allowing us to use the Modi ed Young Tableaux formalism to describe their eigenstates. We found that the spectrum of the original model split when the chiral interaction is turned on. The split is governed by the Yangian algebra, resulting in non-trivial quantization rules which were studied by the representation theory of the algebra. After our numerical description for nite systems, we extended our results towards a thermodynamic limit, nding a general description of the groundstate transitions at low energy that is also valid for the in nite chain. Finally, as an application, we used the Haldane-Shastry model with a chiral interaction to introduce a family of spin models with di erent medium-range interactions whose coupling constants are extracted from this model. We describe how the solution of these models can be found by our approach and formulate the question about the link among them.

Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles.