Proposta de um algoritmo quântico para a resolução de equações diferenciais não-lineares baseado no Método de Adomian

Abstract

O método de Adomian é usado na solução de equações diferenciais não lineares com resíduo, em áreas das engenharias. Nesse trabalho, usaremos o método para transformar a Equação de Schrödinger não linear em um sistema de equações lineares para, então, estudar a construção de um algoritmo quântico de Adomian. Como método, realizamos uma revisão bibliográfica do método de Adomian e utilizamos Matlab para aplicar o método, no caso de um sistema clássico. Já quanto a versão quântica do método, fizemos uma revisão bibliográfica de algoritmos quânticos e identificamos possibilidades de usos de algoritmos quânticos para equações diferenciais lineares que podem ser utilizados, após a aplicação do método de Adomian. Nesse particular, discutimos abordagens que poderão ser úteis em trabalhos futuros. Resultados os resíduos do método de Adomian são muito variáveis em ordem de grandeza, contudo, em certas condições, o método apresenta soluções muito próximas da solução real. A ideia de algoritmo quântico proposto neste trabalho precisa ser aprofundada em estudos futuros para ser testada de forma apropriada, dependendo do sistema que se queira trabalhar.

The Adomian method is often used to solve nonlinear differential equations mainly in engineering problems. In this work, we use the method to obtain a set of linear equations from the nonlinear Schrödinger equation in order to study a quantum version of the Adomian algorithm. Regarding the methodology we did a bibliographic review of the Adomian method and used Matlab to apply the method in a classical system. As for the quantum version, we did a bibliographical review of quantum algorithms and we have identified a certain number of quantum algorithms for linear differential equations that can be used after the application of the Adomian method. In this regard, we have developed an approach that may be useful in future work. Results The residues of the Adomian method can vary a lot in terms of the order of magnitude, but under certain conditions, the method presents solutions very close to the the real solution. The idea of a quantum Adomian algorithm proposed in this work needs to be deepened in future studies, so that it can be properly tested, depending on the system where it will be applied.