Partial (co)actions of weak Hopf algebras : globalizations, Galois theory and Morita theory

Abstract

In this work we introduce the notion of partial actions of weak Hopf algebras on algebras. This new subject arises in order to unify the notions of partial group action [29], partial Hopf action ([2],[3],[18]) and partial groupoid action [7]. We also develop some fundamental tools in order to construct the partial smash product and the globalization of a partial action, as well as, we establish a connection between partial and global smash products via a surjective Morita context. In particular, in the case that the globalization is unital, these smash products are Morita equivalent. We show that it is possible to connect globalizable partial groupoid actions and symmetric partial groupoid algebra actions, extending similar results for group actions [18]. We also introduce the concept of partial coactions of weak Hopf algebras. In this context, we show that every partial comodule algebra comes from a global one and also that the reduced tensor product is a coring. Moreover, we give a complete description of all partial (co)actions of a weak Hopf algebra on its ground field, which suggests a method to construct more general examples. Finally, we explore the Morita theory in two different ways. The first one is made using partial actions. In this approach we show that, under some special conditions on the weak Hopf algebra, the obtained Morita context is a generalization of the one given in [37]. As an application, we develop a Galois theory connecting this Morita context, the canonical map, and the Galois coordinates. The second one is via partial coactions. We construct the reduced tensor product and show that it is a coring. Motivated by corresponding results in [16], we construct the Morita theory obtaining some new additional Galois equivalences.

Neste trabalho introduzimos a noção de ações parciais de álgebras de Hopf fracas em álgebras. Este novo conceito surge com o intuito de unificar as noções de ação parcial de grupos [29], ação parcial de álgebras de Hopf ([2],[3],[18]) e ação parcial de grupóides [7]. Também desenvolvemos ferramentas fundamentais para a construção do produto smash parcial e para a globalização da ação parcial, bem como estabelecemos uma conexão entre o produto smash parcial e global através de um contexto de Morita sobrejetor. Em particular, no caso em que a globalização é unitária, estes produtos smash são Morita equivalentes. Mostramos que é possível conectar ação parcial de grupóide e ação parcial simétrica da álgebra de grupóide, extendendo resultados similares para ação parcial de grupos [18]. Nós também introduzimos o conceito de coação parcial de álgebras de Hopf fracas. Neste contexto, mostramos que todo comódulo álgebra parcial vem de um global e também que o produto tensorial reduzido é um coanel. Mais ainda, damos uma descrição completa de todas as (co)ações parciais de uma álgebra de Hopf fraca no seu corpo base, o que sugere um método de construir exemplos mais gerais. Finalmente, exploramos a teoria de Morita de duas maneiras distintas. A primeira é feita usando-se ações parciais. Nesta abordagem, mostramos que sob certas condições para a álgebra de Hopf fraca, o contexto de Morita obtido é uma generalização daquele dado em [37]. Como uma aplicação, desenvolvemos a teoria de Galois conectando esse contexto de Morita, a aplicação canônica e as coordenadas de Galois. A segunda abordagem é feita através de coações parciais. Construimos o produto tensorial reduzido e mostramos que ele é um coanel. Motivados por resultados em [16], construimos a teoria de Morita, obtendo algumas novas equivalências de Galois.