Um lema do tipo Littman e estimativas do tipo Strichartz para a equação da onda

Abstract

Nesta dissertação, apresentamos um lema do tipo Littman que nos fornece estimativas L∞ − L∞ para a transformada de Fourier inversa do produto de uma função exponencial complexa por uma função teste. Um dos principais ingredientes da demonstração é um resultado sobre o comportamento assintótico de uma classe especial de integrais oscilatórias, conhecido como método da fase estacionária. Como aplicação, obtemos estimativas de Strichartz do tipo Lp − Lq na linha conjugada para o problema de Cauchy para a equação da onda livre. O lema é uma ferramenta essencial para conseguir estimativas L1 − L∞, enquanto que estimativas L2 − L2 seguem de resultados clássicos. Assim, estimativas Lp − Lq são consequências de teoremas de interpolação.

In this thesis, we present a Littman type lemma that provides L∞ − L∞ estimates for the inverse Fourier transform of the product between a complex exponential function and a test function. One of the main ingredients of the proof is a result concerning the asymptotic behavior of a special class of oscillatory integrals, known as the stationary-phase method. As an application, we establish Strichartz estimates of the type Lp − Lq on the conjugate line to the Cauchy problem for the free wave equation. The lemma is an essential tool to obtain L1 − L∞ estimates, while L2 − L2 estima- tes follows from classic results. Lp − Lq estimates are thus consequences of interpolation theorems.