Regularidade fina para equação de meios porosos

Abstract

A teoria de regularidade de soluções de equações diferenciais parciais (EDP's) tem tido grande importância ao longo das últimas décadas. Neste trabalho, iremos considerar uma das mais importantes equações parabólicas do tipo degenerado, a Equação de Meios Porosos, (PME) ut − div(m|u| m−1∇u) = f, m > 1. Como resultado principal desta dissertação, iremos mostrar que soluções fracas localmente limitadas da equação de meios porosos não-homogênea são localmente C 0,γ no espaço e C 0, γ θ no tempo, com γ = min 2α − 0 2 + (m − 1)α0 , r(2q − d) − 2q q[mr − (m − 1)] , θ := 2 + γ(1 − m), onde 0 < α0 ≤ 1 denota o expoente Hölder ótimo de soluções do caso homogêneo. A prova deste resultado é feita através de um lema de aproximação, onde aproximamos soluções da PME não-homogênea por soluções da equação homogênea, e num processo geométrico iterativo, usando a escala apropriada para a equação.

The regularity theory for solutions of Partial Di erential Equations (PDE's) has been of great importance over the last few decades. In this work, we consider one of the most important parabolic equations of the degenerate type, the Porous Medium Equation, (PME) ut − div(m|u| m−1∇u) = f, m > 1. As the main result of this thesis, we show that locally bound weak solutions of the non-homogeneous porous media equation are locally C 0,γ in space and C 0, γ θ in time, with γ = min 2α − 0 2 + (m − 1)α0 , r(2q − d) − 2q q[mr − (m − 1)] , θ := 2 + γ(1 − m). where 0 < α0 ≤ 1 denotes the optimal Hölder exponent of solutions of the homogeneous case. The proof of this result is made through an approximation lemma, where we approximate solutions of the inhomogeneous PME by solutions of the homogeneous equation, and in an iterative geometric process, using the appropriate scale for the equation.