Princípios variacionais para dimensão métrica média de uma ação de semigrupo

Abstract

Neste trabalho mostramos que a dimensão métrica média de uma ação de semigrupo satisfaz três princípios variacionais: (a) em nosso primeiro resultado consideramos a função de entropia local para uma ação de semigrupo livre e mostramos que a dimensão métrica média satisfaz um princípio variacional em termos dessa função; (b) a segunda trata de uma definição da entropia de Katok para uma ação de semigrupo livre introduzida em [11]; (c) em nosso terceiro resultado, baseado na definição de entropia de Shapira, introduzida em [33] para uma única dinâmica, estendemos a definição de entropia de Shapira para uma ação de semigrupo. Obtemos também uma fórmula que relaciona a entropia de Shapira de uma ação de semigrupo livre e a entropia de Shapira do skew product induzido; (d) em nosso quarto resultado obtemos um princípio variacional envolvendo a dimensão métrica média e a entropia de Shapira de uma ação de semigrupo livre; (e) nos dois últimos teoremas estendemos a definição de dimensão média métrica e de entropia topológica quando temos um semigrupo gerado finitamente inspirado na definição de entropia topológica introduzida em [21]. Neste contexto obtemos um princípio variacional parcial para a dimensão métrica média. Nossos resultados são inspirados nos obtidos por [27], [39], [35] e [34].

In this work we show that the metric mean dimension of a semigroup action satisfies three variational principles: (a) in our first result we consider the local entropy function for a free semigroup action and show that the metric mean dimension satisfies a variational principle in terms of such function; (b) the second one is about a definition of Katok’s entropy for a free semigroup action introduced in [11]; (c) in our third result, based on the definition of Shapira’s entropy, introduced in [33] for a single dynamic, we extend the definition of Shapira’s entropy for a semigroup action. We also obtain a formula which relates the Shapira’s entropy of a free semigroup action and the Shapira’s entropy of the induced skew product; (d) in our fourth result we obtain a variational principle involving the metric mean dimension and the Shapira’s entropy of a free semigroup action; (e) in the last two theorems we extend the definition of metric mean dimension and the topological entropy when we have a finitely generated semigroup inspired in the definition of topological entropy introduced in [21]. In this context we obtain a partial variational principle for the metric mean dimension. Our results are inspired in the ones obtained by [27], [39], [35] and [34].