Folheações de uma 3-variedade riemanniana por superfícies mínimas e aplicações no espaço hiperbólico

Abstract

Hsiang e Lawson provam nos Teoremas 1 e 2, em [7], que se G é um subgrupo compacto do grupo de isometrias de uma variedade riemanniana M, então uma subvariedade G-invariante N de M é mínima se, e somente se, N/G é mínima em M/G, considerando em M/G uma métrica apropriada. Neste trabalho, obtemos uma extensão deste resultado para o caso em que G é um subgrupo do grupo das isometrias de M, não necessariamente compacto, agindo propriamente e livremente em M, e supondo dim(M) = 3. Aplicamos este teorema para encontrar folheações de uma variedade riemanniana por superfícies mínimas e exibimos folheações do espaço hiperbólico H³ invariantes por um subgrupo a um parâmetro de isometrias de H³. Estas folheações de H³ nos permitem provar a existência de solução do problema de Plateau assintótico para certas curvas especiais do seu bordo assintótico.

Hsiang and Lawson prove, in Theorems 1 and 2 of [7], that if G is a compact subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold M then a G-invariant submanifold N of M is minimal if, and only if, N/G is minimal in M/G, considering in M/G an appropriate metric. In this work, we obtain an extension of this result for the case which G is a subgroup of the isometry group of M, not necessarily compact, acting properly and freely on M, and assuming dim(M) = 3. We apply this theorem to find foliations of a Riemannian manifold by minimal surfaces and we present foliations of the hyperbolic space H³ which are invariant by a one parameter subgroup of the isometry group of H³. These foliations of H³ allow us to prove the existence of solution to the asymptotic Plateau problem for certain special curves of its asymptotic boundary.