Fazer e compreender na gênese instrumental: pensando-com representações dinâmicas das superfícies quádricas

Abstract

Esse estudo está centrado nas questões que envolvem os processos cognitivos desencadeados durante a gênese instrumental dos participantes, em situações de ensino e aprendizagem envolvendo as representações dinâmicas das superfícies quádricas. A presente pesquisa nasce de muitas motivações, mais especialmente das necessidades de enfrentamento dos obstáculos de aprendizagem comuns na prática do professor de matemática. Um dos desafios encontrados pela pesquisadora na sua trajetória como docente, relacionava-se ao ensino e aprendizagem das superfícies quádricas. Além de dar suporte a outras disciplinas no Ensino Superior e posterior, e das aplicações envolvendo diversas áreas do conhecimento, o estudo dessas superfícies engloba parte significativa dos conhecimentos de Geometria Analítica. Consistindo na associação entre entes algébricos e geométricos, a Geometria Analítica torna possível a representação de diversos fenômenos e situações. A análise de gráficos permeia todos os níveis de ensino em diferentes disciplinas e cursos, inclusive a prática cotidiana, consistindo em um conhecimento base para a formação do professor de matemática. O acesso a um objeto matemático só é possível através de representações, por exemplo sua equação ou gráfico, que carregam informações parciais e complementares sobre este ente. A articulação entre essas representações enriquece o conhecimento sobre o objeto de estudo, podendo ser explorada por meio de ambientes de matemática dinâmica. A presente pesquisa teve por objetivo compreender como ocorre o desenvolvimento cognitivo durante o processo de gênese instrumental com representações dinâmicas das superfícies quádricas. Para investigação do processo de construção do conhecimento sobre superfícies quádricas, por meio de representações obtidas no ambiente de matemática dinâmica do GeoGebra, o referencial teórico desse estudo teve por base a Teoria dos Registros de Representação Semiótica e a Teoria da Gênese Instrumental. Ambas as teorias apresentam aspectos particulares considerados nessa investigação, com ponto comum no ‘Fazer e Compreender’ de Piaget, que fornece o alicerce para o tratamento das questões relacionadas à construção do conhecimento matemático. É na concepção do fazer para compreender que foram embasadas as situações de ensino e aprendizagem, com atividades em que foi necessário ‘pensar-com tecnologias’. Essa investigação, de natureza aplicada, qualitativa e exploratório-descritiva, propôs-se à análise da seguinte questão: Como ocorre o desenvolvimento cognitivo no processo de gênese instrumental, envolvendo registros dinâmicos de representações semióticas das superfícies quádricas? Para responder à questão de pesquisa, foi utilizado o método de triangulação de dados, cujos procedimentos consistiram no levantamento bibliográfico, observação das condutas cognitivas nas atitudes comportamentais, produções escritas e construções do GeoGebra e aplicação de questionários e entrevistas. Entre os resultados dessa investigação, destacamos a articulação teórica, que foi base para a construção do conjunto de atividades que compôs as situações de ensino e aprendizagem instrumental. Durante a análise dos dados, foi possível observar a existência de uma espécie de engrenagem, funcionando como mola propulsora da construção do conhecimento por meio de representações dinâmicas das superfícies quádricas. Os elementos dessa engrenagem ocorriam de forma entrelaçada durante o processo de fazer para compreender, favorecendo as tomadas de consciência responsáveis pela expansão da estrutura cognitiva. Nesses momentos de tomada de consciência, observamos a presença da articulação teórica, tanto na ocorrência da coordenação de registros quanto da apropriação tecnológica.

This study focuses on issues involving the cognitive processes triggered during the instrumental genesis of participants in teaching and learning situations involving dynamic representations of quadric surfaces. This research was motivated by many factors, most notably the need to address common learning obstacles in the practice of mathematics teachers. One of the challenges the researcher encountered in her career as a teacher was related to the teaching and learning of quadric surfaces. In addition to supporting other disciplines in higher education and beyond, and applications involving various areas of knowledge, the study of these surfaces encompasses a significant part of the knowledge of Analytical Geometry. Consisting of the association between algebraic and geometric entities, Analytical Geometry makes it possible to represent various phenomena and situations. Graph analysis permeates all levels of education in different disciplines and courses, including daily practice, and consists of basic knowledge for the training of mathematics teachers. Access to a mathematical object is only possible through representations, for example its equation or graph, which carry partial and complementary information about this entity. The articulation between these representations enriches knowledge about the object of study, and can be explored through dynamic mathematics environments. The present research aimed to understand how cognitive development occurs during the process of instrumental genesis with dynamic representations of quadric surfaces. To investigate the process of knowledge construction about quadric surfaces, through representations obtained in the dynamic mathematics environment of GeoGebra, the theoretical framework of this study was based on the Theory of Semiotic Representation Registers and the Theory of Instrumental Genesis. Both theories present particular aspects considered in this investigation, with a common point in Piaget's ‘Doing and Understanding’, which provides the foundation for the treatment of issues related to the construction of mathematical knowledge. The teaching and learning situations were based on the concept of doing in order to understand, with activities that required ‘thinking with technologies’. This applied, qualitative and exploratory-descriptive research proposed the analysis of the following question: How does cognitive development occur in the process of instrumental genesis, involving dynamic records of semiotic representations of quadric surfaces? To answer the research question, the data triangulation method was used, whose procedures consisted of a bibliographic survey, observation of cognitive behaviors in behavioral attitudes, written productions and GeoGebra constructions, and application of questionnaires and interviews. Among the results of this research, we highlight the theoretical articulation, which was the basis for the construction of the set of activities that composed the instrumental teaching and learning situations. During the data analysis, it was possible to observe the existence of a kind of gear, functioning as a driving force for the construction of knowledge through dynamic representations of quadric surfaces. The elements of this mechanism occurred in an intertwined manner during the process of doing to understand, favoring the awareness responsible for the expansion of the cognitive structure. In these moments of awareness, we observed the presence of theoretical articulation, both in the occurrence of the coordination of records and in the technological appropriation.