Desintegração-produto em cadeias de Markov

Abstract

A desintegração-produto, conceito proposto por Borsato, Horta e Souza (2024), é uma forma de descrever a relação entre variáveis aleatórias por meio de probabilidades condicionais que mudam de forma estruturada. Modelos ocultos de Markov são uma classe de modelos capaz de representar sistemas onde as observações são influenciadas por estados de uma cadeia de Markov não diretamente observável. Este trabalho explora a aplicação da desintegração-produto em cadeias de Markov, suas condições e propriedades. É mostrado um contra-exemplo que demonstra como é falha a conjectura de que toda desintegração-produto de uma cadeia de Markov seria necessariamente Markoviana. Apresenta-se a construção Mulinacci-Horta, que gera uma cadeia de Markov através de matrizes aleatórias e compõe uma desintegração-produto. O resultado principal deste trabalho é a demonstração de um teorema que diz que os dois processos gerados na construção Mulinacci-Horta são cadeias de Markov e estabelece a relação de independência condicional entre esses processos, confirmando que a construção gera um modelo oculto de Markov. Simulações são exibidas para ilustrar a relação entre os processos latente e observável no contexto de desintegração-produto, e como o comportamento do processo latente influi na Markovianidade do processo observável. A análise apresentada demonstra que, através da desintegração-produto, toda cadeia de Markov pode ser decomposta em duas partes: uma cadeia oculta, que carrega a dependência Markoviana, e uma sequência de variáveis observáveis, que, condicionalmente ao processo latente, se realiza de forma independente. Em outras palavras, isso implica que toda cadeia de Markov pode ser vista como um modelo oculto de Markov.

Product disintegration, a concept proposed by Borsato, Horta, and Souza (2024), is a way to describe the relationship between random variables through conditional probabilities that change in a structured manner. Hidden Markov models are a class of models capable of representing systems where the observations are influenced by states of a Markov chain that are not directly observable. This paper explores the application of product disintegration in Markov chains, its conditions, and properties. A counterexample is provided to demonstrate the failure of the conjecture that every product disintegration of a Markov chain would necessarily be Markovian. The Mulinacci-Horta construction is presented, which generates a Markov chain through random matrices and forms a product disintegration. The main result of this work is the demonstration of a theorem stating that the two processes generated in the Mulinacci-Horta construction are Markov chains and establishes the conditional independence relationship between these processes, confirming that the construction generates a hidden Markov model. Simulations are displayed to illustrate the relationship between the latent and observable processes in the context of product disintegration, and how the behavior of the latent process influences the Markovianity of the observable process. The presented analysis demonstrates that, through product disintegration, any Markov chain can be decomposed into two parts: a hidden chain, which carries the Markovian dependence, and a sequence of observable variables, which, conditional on the latent process, occur independently. In other words, this implies that any Markov chain can be viewed as a hidden Markov model.