Generalized differences methods for the fractional Laplacian and equations involving it

Abstract

O principal objetivo deste trabalho é estudar e desenvolver métodos numéricos (e também produzir tecnologia de software) para aproximar o operador Laplaciano fracionário de ordem α ∈ (0, 2) em dimensão um, a fim de contribuir com os trabalhos já existentes na literatura pertinente. No que se refere à metologia empregada, envolve técnicas tanto analíticas como computacionais. Com vistas a futuras aplicações em equações envolvendo o operador, o trabalho focou-se em métodos baseados em diferenças finitas, devido à sua simplicidade em relação a outros métodos. Para isto, baseou-se principalmente nos trabalhos de Huang & Oberman [42, 43], já canônicos no tema. Devido à teoria desenvolvida em [43], que unifica grande parte dos métodos baseados em diferenças para aproximar o operador em dimensão um, foi possível introduzir o conceito de aproximações por diferenças generalizadas, contribuindo com os trabalhos de Huang & Oberman e que, além disso, garante a validade do princípio do máximo discreto para o problema de Dirichlet estendido na reta. As diferenças generalizadas são uma família de métodos que envolvem aproximações semi-discretas do operador atuando em uma função real y : R → R, que recaem em convoluções semi-discretas de sequências duplamente infinitas: uma representa a função y e outra que representa um conjunto de coeficientes adequadamente escolhidos. Após a projeção do operador aproximado em uma grade equiespaçada, o somatório, que define uma convolução discreta, é escrito como uma soma finita e o termo restante, chamado de termo de campo distante, é substituído por representações integrais ou simplesmente desprezado. A fim de introduzir tal família de aproximações, além da teoria apresentada em [43], foi necessário um estudo dos multiplicadores de Fourier associados aos métodos de diferenças centradas equiespaçadas para a segunda derivada. Além disso, são propostos métodos acurados para o cálculo de alguns dos coeficientes provenientes de métodos já existentes na literatura. A acurácia é comprovada por experimentos numéricos. Para aproximar o campo distante, além da metodologia apresentada em [42, 43] para funções com decaimento algébrico no infinito, é proposta a utilização da quadratura de propósito geral tanh-sinh (Quadradura Duplamente Exponencial) para integração numérica em domínios semi-infinitos. Resultados dos experimentos numéricos apresentados neste trabalho indicam que o uso da tanh-sinh é uma opção viável para aproximar este termo. Todo o software produzido para a implementação computacional e experimentos numéricos, implementado em C++, é de código aberto e está disponível em um repositório on-line, conforme indicado no texto. O software é projetado para ser extensível, a fim de ser utilizado em outras aplicações e trabalhos futuros relacionados ao tema.

The main goal of this work is to study and develop numerical methods (and also produce software technology) to approximate the fractional Laplacian operator of order α ∈ (0, 2) in dimension one, to contribute to the existing works in the relevant literature. The methodology used involves both analytical and computational techniques. With a view to future applications in equations involving the operator, the work focused on methods based on finite differences due to their simplicity over other methods. For that, it primarily relied on the works of Huang & Oberman [42, 43], which are considered canonical on the subject. Due to the theory developed in [43], which unifies most of the difference-based methods to approximate the operator in dimension one, it was possible to introduce the concept of generalized difference approximations, contributing to the work of Huang & Oberman and which, in addition, guarantees the validity of the principle of maximum discreteness for the extended Dirichlet problem on the line. Generalized differences are a family of methods that involve semi-discrete approximations of the operator acting on a real-valued function y : R → R, which fall into semi-discrete convolutions of doubly infinite sequences: one representing the function y and the other representing a set of appropriately chosen coefficients. After the projection of the approximated operator on an equispaced grid, the summation, which defines a discrete convolution, is written as a finite sum plus a remaining term, called the far-field term, is replaced by integral representations or ignored. In addition to the theory presented in [43], it was essential to study the Fourier multipliers associated with the centered equispaced difference methods for the second derivative to introduce such a family of approximations. Moreover, accurate methods for calculating some of the coefficients from methods existing in the literature are considered and validated through numerical experiments. To approximate the far-field, in addition to the methodology presented in [42, 43] for functions with algebraic decay at infinity, it is considered the usage of the general-purpose tanh-sinh quadrature (Double Exponential Quadrature) for numerical integration in semi-infinite domains. Results of the numerical experiments presented in this work indicate that the tanh-sinh quadrature is a viable option to approximate this term. As indicated in the text, all the software produced for the computational implementation and numerical experiments, implemented in the C++ programming language, is open source and available in an online repository. The software is designed to be extensible to facilitate its use in other applications and future projects related to the subject.