RNIFs com transferência de aprendizagem pelo esquema θ para EDPs evolutivas

Abstract

Esta dissertação investiga a aplicação de Redes Neurais Informadas pela Física (RNIFs) com Transferência de Aprendizagem pelo esquema θ na resolução de equações diferenciais parciais (EDPs) evolutivas no tempo. O trabalho apresenta os fundamentos teóricos de redes neurais artificiais, o processo de treinamento por retro-propagação e diferenciação automática, bem como a formulação de RNIFs com discretização temporal. A metodologia proposta combina aprendizado profundo com restrições físicas, incorporando a transferência de conhecimento entre instantes temporais sucessivos de modo a reduzir o custo computacional e ampliar a eficiência do treinamento. Foram analisados problemas clássicos, incluindo a equação do calor unidimensional e a equação de Burgers em diferentes cenários. Os resultados mostraram que a abordagem é capaz de reproduzir soluções aproximadas compatíveis com métodos numéricos de referência, com destaque para regimes em que predominam efeitos de advecção. A utilização da transferência de aprendizagem contribuiu para a obtenção de soluções consistentes ao longo do tempo, preservando a estabilidade numérica e a coerência física. Os objetivos estabelecidos foram atingidos, compreendendo a formulação de uma abordagem baseada em RNIFs para problemas evolutivos e a implementação de estratégias de transferência de aprendizagem. Os resultados obtidos indicam possibilidades para trabalhos futuros, como a aplicação da metodologia a EDPs em domínios multidimensionais e em cenários de longo horizonte temporal, o uso de técnicas de discretização temporal e arquiteturas auto-adaptativas, além da exploração de outras redes, como LSTM, para incorporar memória entre iterações.

This dissertation investigates the application of Physics-Informed Neural Networks (RNIFs) with Transfer Learning through the θ-scheme in solving time-dependent partial differential equations (PDEs). The work presents the theoretical foundations of artificial neural networks, the training process using backpropagation and automatic differentiation, as well as the formulation of RNIFs with temporal discretization. The proposed methodology combines deep learning with physical constraints, incorporating knowledge transfer between successive time steps in order to reduce computational cost and increase training efficiency. Classical problems were analyzed, including the one-dimensional heat equation and the Burgers equation in different scenarios. The results showed that the approach can reproduce approximate solutions consistent with reference numerical methods, particularly in regimes dominated by advection effects. The use of transfer learning contributed to obtaining consistent solutions over time, preserving numerical stability and physical coherence. The established objectives were achieved, comprising the formulation of a RNIF-based approach for evolutionary problems and the implementation of transfer learning strategies. The results obtained indicate possibilities for future work, such as applying the methodology to PDEs in multidimensional domains and in long time-horizon scenarios, using temporal discretization techniques and self-adaptive architectures, as well as exploring other networks, such as LSTMs, to incorporate memory across iterations.