Equações de advecção-difusão com aplicações às equações de Navier-Stokes

Abstract

Este trabalho consiste de duas partes. Na primeira, estendemos o resultado de Braz e Silva e Zingano [2], [3] sobre soluções u(•; t) ε C°([0; T[;Lp(Rn)) de equações de advecção-difusão em meios heterogêneos para classes mais gerais de equações parabólicas, aplicando os resultados nas equações de Navier-Stokes incompressíveis no plano formuladas em termos da vorticidade do escoamento. Em particular, estabelecemos estimativas mostrando o decaimento em certas normas do campo de velocidade u(•; t) em caso de escoamentos de energia infinita. Na segunda parte, consideramos as equações de Navier-Stokes em dimensão n = 2; 3 examinando soluções u(•; t) de energia finita. Inicialmente, obtemos uma nova derivação, mais simples, do resultado obtido originalmente por Kato [20] estabelecendo o decaimento assintótico (t → ∞) de ||u(•; t)||L²(Rn), para estados iniciais u0 ε H¹(Rn) (com divergente nulo) arbitrários. Na linha deste argumento obtemos uma formula»c~ao mais forte dos resultados fundamentais de Wiegner [36] relacionando u(•; t) com soluções evΔtu0 da equação do calor, adaptando o método recentemente introduzido em [22], [23] para a derivação destes resultados. O método de [22], [23] também é utilizado para estabelecermos (dimensão n=3) que, ocorrendo "blow- up"de u(•; t) em tempo finito t*, necessariamente t* < 0:159||u0||4Lp(Rn)º-5, sendo ν a viscosidade dinãmica do escoamento.

In the first part of the this work, we extend results by Braz e Silva e Zingano [2], [3] concerning Lp solutions u(•; t) ε C°([0; T[;Lp(Rn)) of advection-dicusion equations in heterogeneous media to broader classes of quasilinear parabolic equations, applying the results to incompressible Navier-Stokes flows in the plane by way of the vorticity formulation. In particular, we obtain some decay rates (as t → ∞) for certain norms of the velocity field u(•; t) in case of flow with infinity energy. In the second part, we consider the Navier-Stokes equations in dimension n = 2; 3 and examine solutions u(•; t) with finite energy. First, we give a new (and simpler) derivation of the time asymptotic result originally obtained by Kato [20] and Masuda [28] showing the decay of the L2 norm of divergence-free, finite- energy solutions. Following these footsteps, we give a stronger formulation of the fundamental results obtained by Wiegner [36] relating the velocity field u(•; t) to solutions evΔtu0 of the heat equation, adapting the approach introduced in [22], [23] for the derivation of Wiergner's results. The analysis in [22], [23] is also used to obtain an interesting bound for the blow-up time t* in 3-D flows, in case solutions cease to be smooth: one must have t* < 0:159||u0||4Lp(Rn)º-5, where v is the dynamic viscosity.