Estimação e previsão em processos advindos da solução da equação de Langevin generalizada com ruído α-estável

Abstract

Neste trabalho estudamos uma classe de processos a tempo contínuo advinda da solução da equação de Langevin generalizada. Consideramos para o ruído um processo de Lévy. Para ns de simulação, restringimos o ruído a um processo de Lévy α-estável. Apresentamos um estudo de algumas medidas de dependência que possam substituir a função de autocovariância, no caso α-estável. Consideramos três diferentes medidas de dependência: codiferença, covariância espectral e covariação e provamos diversos resultados relativos a elas. Além disso, apresentamos um estudo de simulações para exemplos de processos desta classe, mostrando sua geração, sua codiferença e covariância espectral teóricas e empíricas. Provamos propriedades teóricas para os processos em estudo, considerando ruídos do tipo movimento Browniano, α-estável e Lévy. Propomos procedimentos de estimação dos parâmetros baseados em mínimos quadrados, máxima verossimilhança e metodologia Bayesiana considerando o processo solução da equação de Langevin clássica, ou seja, o processo Ornstein-Uhlenbeck, e o chamado processo Cosseno. Para obter a previsão de processos α-estáveis estacionários, utilizamos dois preditores lineares: um baseado na dispersão e outro na covariação. Por m, apresentamos aplicações a duas séries temporais: mortalidade cardiovascular na cidade de Los Angeles e preços das ações da companhia Apple.

In this work we present a class of continuous-time processes arising from the solution of the generalized Langevin equation. We consider Lévy process as the noise. We restrict it as α-stable Lévy motion for simulation purposes. We present a study of some dependence measures in order to replace de autocovariance function in the α-stable context. We consider three di erent dependence measures: codi erence, spectral covariance and covariation and we prove some results related to them. We also present a simulation study for particular processes arising from this class showing the generation, the theoretical and empirical counterpart for both codi erence and spectral covariance measures. We prove theoretical properties for the processes under study, considering the noise as the Brownian motion, α-stable and Lévy type. We propose parameter estimation procedures based on least squares, maximum likelihood and Bayesian methodology considering the process arising from the classical Langevin equation, i.e., the Ornstein-Uhlenbeck process, and the so-called Cosine process. For prediction in stationary α-stable processes, we consider two linear predictors, one based on the dispersion and the other based on the covariation. We present two application analyses based on the cardiovascular mortality in Los Angeles city and on the price of Apple company's stock market.