Tempos de mistura de cadeias de Markov: relações com outros indicadores e estimativas para o passeio aleatório no toro

Abstract

Esta dissertação explora conceitos fundamentais das cadeias de Markov, abordando sua construção e conceitos básicos, passando por resultados clássicos como o teorema de convergência, e dedicando-se especialmente ao estudo de indicadores relacionados à cadeia, em especial o tempo de mistura, o tempo de relaxamento e o tempo de acerto. O objetivo deste trabalho é compilar e estruturar diferentes resultados na área, alguns bastante recentes, explorando as relações entre esses indicadores, e utilizando o exemplo do passeio aleatório no toro para a visualização dessas grandezas e melhor compreensão de suas propriedades. Além disso, busca fornecer um material ao mesmo tempo abrangente e de fácil entendimento para os leitores, numa área relativamente recente e com grandes avanços na última década.

This dissertation explores fundamental concepts of Markov chains, addressing their construction and basic concepts, covering classical results such as the convergence theorem, and especially focusing on the study of indicators related to the chain, particularly mixing time, relaxation time, and hitting time. The objective of this work is to compile and structure different results in the field, some quite recent, exploring the relationships between these indicators, and using the example of the random walk on the torus to visualize these quantities and better understand their properties. Additionally, it aims to provide material that is both comprehensive and easily understandable for readers in a relatively recent area with significant advancements in the past decade.