Desempenho do nvidia modulus, uma ferramenta para aprendizado de máquina, para solução de equações diferenciais parciais comparado com solver numéricos tradicionais

Abstract

A solução de equações diferenciais parciais (EDPs) é uma tarefa fundamental para a modelagem de fenômenos físicos na ciência e engenharia. Métodos analíticos, embora permitam obter uma solução exata do problema, muitas vezes são impraticáveis para configurações que envolvam geometrias complexas, não linearidade e multidimensionalidade. Métodos numéricos são capazes de reproduzir fenômenos físicos com uma boa acurácia, porém eles podem se tornar dispendiosos conforme mais complexa é a física do fenômeno a ser modelado e mais complexa é a geometria a ser detalhada. A execução de uma única simulação numérica pode levar diversas horas ou dias para ser completada e, em alguns casos, é impraticável. É por causa dessas dificuldades que técnicas de aprendizagem de máquina, como redes neurais profundas, vem ganhando interesse como uma metodologia para aproximação da solução de equações diferenciais parciais devido a sua capacidade de aproximar funções não lineares e de aprenderem de forma hierárquica. Outro tipo de abordagem para esse problema é combinar redes neurais com conhecimento físico por meio da modificação da função custo durante a etapa de treinamento para incorporar termos relacionados às equações governantes do fenômeno físico, assim como condições iniciais e de contorno, o que é conhecido como rede neural informada por física (do inglês physics-informed neural networks, PINNs). Neste estudo, nosso objetivo é investigar a capacidade de redes neurais informadas por física em resolver EDPs para diferentes configurações físicas. Para isso dois casos de estudo foram investigados: i) o movimento de uma massa suspensa por uma mola, conhecido como sistema massa-mola; ii) o vórtice de Taylor-Green bidimensional e tridimensional, que é um benchmark muito utilizado na área de fluidodinâmica computacional para validação de códigos numéricos. Para modelagem das redes neurais, se usou a biblioteca NVIDIA PhysicsNeMo, que é uma ferramenta de código livre voltada para a elaboração de modelos de inteligência ar tificial e computação de alto desempenho para simulação de fenômenos físicos. Para a validação dos resultados a inferência da rede neural é comparada com a solução analítica, quando está disponível. Para o sistema massa-mola, nossos resultados indicam que um modelo baseado em dados não é capaz de aprender a dinâmica do sistema. Porém, quando se adiciona conhecimento físico no treinamento da rede neural, o modelo é capaz de aprender a solução do sistema massa-mola. Para a configuração do vórtice de Taylor-Green, os resultados indicam que se pode melho rar a performance da rede neural em aprender esse sistema reforçando os termos da função custo ligados às condições iniciais e à componente física. Também pode-se melhorar a performance do modelo aumentando o número de camadas e usando 256 neurônios por camada. Todavia, para configurações onde há uma maior presença de efeitos da turbulência, a rede neural tende a ter uma performance pior em aprender a configuração.

Solving partial differential equations (PDEs) are a fundamental task in science and engineering to model physical phenomena. Analytic methods give the exact so lution; however, they are usually impractical for configurations involving complex geometries, nonlinearity, and multidimensionality. On the other hand, numerical methods are able to get a good approximation to physical phenomena; neverthe less, they can be really expensive due to the physics complexity and the geometric complexity. A simulation in a single run can take many hours or days to perform, and in some cases can be impractical. It is because of this that machine learning techniques such as deep neural networks have been used as surrogate models to cal culate the PDE solution, due to this ability to approximate nonlinear functions and to be learned in hierarchical form. Another kind of approach is to combine deep neural networks with physical knowledge; this is done by incorporating the PDE in the loss function during the training step. The initial and boundary conditions can also be added to the loss function, which is known as physics-informed neural networks (PINNs). In this work, our goal is to investigate the possibility of using PINN as a surrogate model for PDE solutions for different configurations. Two case studies are addressed: i) the displacement of a spring with a mass attached to it, known as a spring-mass system; ii) the Taylor-Green vortex for two-dimensional and three-dimensional configurations, which is a common benchmark in computational f luid dynamics (CFD) for code validation. The library NVIDIA PhysicsNeMo was used to implement the neural network approach. PhysicsNeMo is an open source framework to build artificial intelligence models and high-performance computing for the simulation of physical phenomena. As validation data, the analytic and nu meric solutions are used. The results show that a data-driven approach was not able to solve the spring-mass system; however, the PINN approach was able to learn the analytic solution of the system. For the Taylor-Green configuration, the results show that the PINN performance can be improved by enforcing the constraints in the loss function for initial condition and physical loss. The results also show that increasing the number of layers and using 256 neurons per layer improves the per formance of PINN. However, as the turbulence of the configuration increases, the PINN performance decreases.